La médiane est une mesure statistique qui représente une alternative robuste à la moyenne. Considérons n valeurs numériques x1, ..., xn (pas nécessairement distinctes), où n est impair. On les ordonne de la plus petite à la plus grande, ce qui donne la suite permutée xi1, ..., xin, où {i1, ..., in} est une permutation de {1, ..., n}. La médiane est alors la valeur placée au milieu de cette suite ordonnée, à savoir xim pour m = (n+1)/2.
Par exemple, soit n = 9, et considérons les 9
valeurs
17, 1, 3, 5, 3, 1, 12, 2, 7.
Notons que certaines valeurs peuvent être
répétées, et qu'il ne faut pas supprimer les
répétitions ! En les ordonnant de la plus petite
à la plus grande, on obtient la suite
1, 1, 2, 3, 3, 5, 7, 12, 17.
La valeur au milieu de cette suite ordonnée est la 5ème,
à savoir 3, qui est donc la médiane des 9 valeurs.
On écrira med(x1, ..., xn) pour la médiane des variables x1, ..., xn. Ainsi dans l'exemple ci-dessus, on a med(17,1,3,5,3,1,12,2,7) = 3. Notons que - tout comme la moyenne - la médiane ne dépend pas de l'ordre dans lequel sont données les n valeurs.
Le filtre médian est un filtre spatial qui calcule en chaque pixel la médiane des niveaux de gris des pixels de sa fenêtre, ce qui donnera le niveau de gris du pixel dans l'image filtrée. Plus présisément, pour tout pixel p, soit W(p) la fenêtre associée à p ; on suppose que sa taille |W(p)| est impaire (c'est ainsi le cas pour une fenêtre centrée en p, par exemple une fenêtre 3 × 3 ou 5 × 5). Etant donnée une image I à niveaux de gris, le filtre médian transformera I en une image J à niveaux de gris, telle que pour tout pixel p, le niveau de gris J(p) est la médiane des niveaux de gris I(q) des pixels q dans la fenêtre W(p) :
J(p) = med (I(q) | q dans W(p)) .
Notons que ce calcul de J(p) se fait en parallèle, en d'autres termes le calcul en un pixel p n'influe pas sur le calcul en un pixel voisin q.
Pour comprendre le fonctionnement du filtre médian, on applique
le principe de dichotomie. Soit s une
intensité qu'on prendra comme seuil ; alors la
médiane de n variables x1, ...,
xn (n impair) sera 
s si et seulement si la
majorité de ces n variables est s. Donc si on appelle "clairs" les
niveaux de gris s, et
"sombres" ceux < s, le filtre médian
rendra un pixel "clair" ou "sombre" selon que la
majorité des pixels de la fenêtre autour de ce pixel sont
"clairs" ou "sombres".
Vu que la médiane, en tant que mesure statistique, représente une alternative à la moyenne, le filtre médian constituera une forme de lissage qu'on peut utiliser à la place du lissage linéaire. Les deux types de filtres ont des propriétés différentes, qui selon les cas peuvent donner l'avantage à l'un ou l'autre, comme nous l'expliquerons ci-dessous. Pour une analyse plus détaillée de ces propriétés, on se reportera au document complémentaire.
Une des propriétés fondamentales du filtre médian, est qu'il ne crée pas de nouvelles valeurs de niveaux de gris dans l'image. Trois conséquences importantes sont que, contrairement au lissage linéaire, ce filtre
En effet, la médiane de n variables est une de ces variables. Aussi quand on applique le filtre médian à une image I, la valeur de niveau de gris J(p) obtenue en un pixel p (dans la nouvelle image J) sera une des valeurs de niveaux de gris I(q) (dans l'image de départ I) d'un pixel q dans la fenêtre W(p) autour de p. Par conséquent, l'ensemble des niveaux de gris J(p) de la nouvelle image J sera inclus dans celui des niveaux de gris I(p) de l'image de départ I.
Il s'ensuit que dans une image ayant peu de niveaux de gris distincts, l'application du filtre médian n'augmentera pas le nombre de niveaux de gris, elle peut par contre le diminuer. Ainsi le filtre médian est absolument inutile pour créer des dégradés ou pour éliminer les faux contours causés par la sous-quantification de niveaux de gris : des niveaux de gris sous-quantifiés le resteront. Par exemple si on quantifie sur 5 bits l'échelle de niveaux de gris de [0,255] (qui nécessite 8 bits), cela revient à éliminer les 3 bits les moins significatifs ; quant on ramène à 8 bits l'échelle réduite, les 3 bits les moins significatifs sont mis à 0, donc les niveaux de gris seront tous multiples de 8, et l'application du filtre médian n'y changera rien.
Par contre les filtres linéaires, qui créent de nouvelles valeurs de niveaux de gris, peuvent être utilisés pour générer des dégradés et atténuer le phénomène de faux contours.
Considérons maintenant le comportement du filtre médian sur une image binaire, soit à valeurs 0 et 1, soit à deux niveaux de gris a0 et a1 (où a0 < a1). En application du principe de dichotomie, la médiane de n variables binaires x1, ..., xn sera celle des deux valeurs (0,1 ou a0, a1) qui est majoritairement représentée parmi les n ; en d'autres termes, l'opérateur de médiane représente simplement un vote majoritaire parmi les variables binaires. Donc le filtre médian attribuera à chaque pixel la valeur majoritaire dans sa fenêtre.
Pour illustrer ce comportement, considérons par exemple l'effet du filtre sur une image en demi-ton (half-tone en anglais). Celle-ci ne comporte que des pixels noirs et blancs, et l'intensité moyenne des pixels blancs et noirs autour d'un point représente une approximation du niveau de gris qu'aurait l'image à cet endroit (donc un lissage linéaire ou flou devrait donner une approximation de l'image à niveaux de gris correspondante, et effectivement on obtient cet effet en regardant une telle image à une certaine distance). Le processus pour engendrer une image en demi-ton à partir d'une image à niveaux de gris s'appelle en anglais dithering. Si le lissage linéaire restaure dans une certaine mesure l'image de départ, ce n'est pas le cas pour le filtre médian. Nous savons déjà qu'il ne crée pas de nouveaux niveaux de gris, donc l'image filtrée restera binaire (avec des pixels blancs ou noirs). En fait, le filtre médian accentuera l'effet de binarisation, comme nous l'expliquons ci-dessous.
Qualifions de clair ou sombre un niveau de gris suivant qu'il est supérieur ou inférieur à la moyenne entre blanc et noir. Alors :
Donc le filtre médian appliqué à l'image en demi-ton donnera à peu près la même chose qu'un seuillage de l'image à niveaux de gris correspondante en prenant un seuil gris moyen (de valeur égale à la moyenne entre celles de blanc et de noir). C'est ce que nous illustrons ci-dessous pour une image à niveaux de gris de 0 à 255 :
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| Image originale. | Image en demi-ton obtenue par "dithering". |
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| Lissage linéaire 3 × 3 de l'image en demi-ton. |
Application du filtre médian 3 × 3 sur l'image en demi-ton. |
Image originale seuillée à 128. |
On peut ainsi utiliser le filtre médian si l'effet recherché correspond à un seuillage de l'image avant sa conversion en demi-ton.
Le filtre médian est réputé ne pas introduire de flou dans les images. Ce n'est pas totalement vrai, il peut étendre un dégradé présent le long d'une arête courbe ou autour d'un coin, donnant donc un effet visuel de léger flou, mais c'est sans commune mesure avec le flou provoqué par le lissage linéaire.
Cela provient du fait que le filtre médian préserve les marches et rampes rectilignes. Une marche représente une augmentation abrupte du niveau de gris, tandis qu'une rampe signifie une augmentation progressive et monotone du niveau de gris. Une marche ou rampe est rectiligne si l'arête qu'elle constitue dans l'image est rectiligne, en d'autres termes si le niveau de gris est à peu près constant dans la direction perpendiculaire à celle de l'augmentation.
Nous illustrons ci-dessous à gauche une marche et une rampe rectilignes où le niveau de gris augmente de bas en haut. Celles-ci seront préservées par le filtre médian, à condition que le filtre utilise en chaque pixel une fenêtre symétrique (par exemple 3 × 3 ou 5 × 5).
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| Marche rectiligne. | Rampe rectiligne. | Damier avec un flou 7 × 7. |
Résultat du filtre médian 31 × 31. |
En ce qui concerne les arêtes non rectilignes, on remarquera que le filtre médian peut déformer celles-ci. Pour une arête courbe, le filtre médian érodera la zone convexe bordée par l'arête, tandis qu'un coin sera arrondi ou biseauté ; l'ampleur de la déformation dépend de la taille de la fenêtre. Aussi quand cette arête courbe ou ce coin présente un dégradé, celui-ci verra sa surface agrandie, ce qui peut donner une impression de flou. C'est ce que nous illustrons ci-dessus à droite sur un damier légèrement flou, traité par un filtre médian avec une très grande fenêtre.
Le bruit impulsif, aussi appelé bruit poivre et sel, est une dégradation de l'image où certains pixels deviennent aléatoirement soit blancs, soit noirs. On suppose généralement que la probabilité qu'un pixel devienne blanc (resp. noir) est constante sur l'image, et que le devenir de chaque pixel est indépendant de celui des autres.
Contrairement au lissage linéaire, le filtre médian est bien adapté au filtrage du bruit impulsif. Il s'appliquera aussi pour éliminer des griffes dans une image. C'est ce que nous illustrons dans les exemples ci-dessous. On remarquera que le filtre médian de fenêtre 5 × 5 peut éliminer certains détails qui seront préservés par celui de fenêtre 3 × 3, mais que ce dernier laisse subsister une partie du bruit, qui nécessitera pour être enlevé, une 2ème, voire une 3ème application du filtre.
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| Image originale (Lenna, © Playboy). |
Image avec un bruit poivre et sel affectant 25% des pixels. |
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| Lissage linéaire 5 × 5 de l'image bruitée. |
Filtrage médian 5 × 5 de l'image bruitée. |
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| Filtrage médian 3 × 3 de l'image bruitée. |
2ème application du filtre médian 3 × 3. |
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| Image originale. | Image avec des griffes noires et blanches. |
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| Application du filtre médian 5 × 5 sur l'image griffée. |
Filtre médian 3 × 3
appliqué 2 fois sur l'image griffée. |
On remarquera que le lissage linéaire n'élimine pas le bruit poivre et sel, mais a plutôt tendance à "l'étaler".
La bonne performance du filtre médian pour ce type de bruit découle de la propriété de la médiane d'être, contrairement à la moyenne, quasiment insensible aux valeurs extrêmes. Mais cela suppose que la probabilité qu'un pixel soit bruité "poivre" (très sombre), et celle qu'il soit bruité "sel" (très clair), sont toutes deux inférieures à 1/2. Ainsi, on pourra supposer que pour la plupart des pixels p, la fenêtre W(p) ne contient qu'une minorité de pixels "poivre", et de même pour "sel".
En effet, si la majorité des pixels de la fenêtre W(p) autour d'un pixel p sont bruités "poivre", c.-à-d. à niveau de gris très bas, alors le filtre médian attribuera à ce pixel un niveau de gris très bas, c.-à-d. le pixel p sera bruité "poivre" dans l'image filtrée. Il en sera de même pour une majorité de pixels de la fenêtre bruités "sel", c.-à-d. à niveau de gris très haut. Par contre, si dans la fenêtre W(p) le nombre nP de pixels bruités "poivre" et le nombre nS de pixels bruités "sel" sont tous deux < |W(p)| / 2, alors la médiane des niveaux de gris de la fenêtre ne sera ni "poivre" ni "sel", mais une valeur non bruitée. Cela signifie que dans l'image filtrée, le pixel p aura une valeur non bruitée.
En ce qui concerne les autres types de bruit (comme le bruit Gaussien), qui tendent à affecter un nombre plus important de pixels, mais avec une amplitude moindre, il est parfois difficile de départager les performances du filtre médian et du lissage linéaire.
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| Image originale. | Image bruitée. | |
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| Lissage linéaire 5 × 5 de l'image bruitée. | Filtrage médian 5 × 5 de l'image bruitée. |
Dans l'exemple ci-dessus, comparé au lissage linéaire, le filtre médian n'introduit pas de flou, préserve un peu mieux les détails, mais laisse le bruit un peu plus visible.